Информатика, электротехника, математика. Лекции, задачи, примеры

Информатика
Учебник по редактору Adobe Illustrator
Импортирование и экспортирование текста и изображений
Печать в Adobe Illustrator
Adobe InDesign
Настольные издательские системы
Основы кодирования
Пиксельная графика
Векторная графика
Трехмерная графика
Цвет и цветовые модели
Локальные сети
Концепция организации локальных сетей.
Совместное использование приложений
Электронная почта
Основные сетевые компоненты
Cетевые кабели
Помехи и затухание
Оптоволоконные кабели
Беспроводные сети
Глобальные сети
Типы глобальных сетей
Сравнение глобальных и локальных сетей
Аналоговые телефонные сети
Управление маршрутизацией и потоками данных.
Доступ к почтовым ящикам
Объединение почтовых систем
Архитектуры систем управления сетями
Электротехника
Методы расчета электрических цепей
Трехфазные цепи
Математика
Математический анализ
Примеры решения задач контрольной работы
Решение типового варианта контрольной работы
Математическое решение экономических задач
Физика
Молекулярная физика и термодинамика
Законы Ньютона
Движение в поле тяготения Земли
Уравнение состояния идеального газа
Теория теплоты
Первое начала термодинамики
Тепловые машины
Энтропия и информация
Физика твердого тела
Закон сохранения энергии
Механика твердого тела
Движение тел в жидкостях и газах
Второе начало термодинамики
Твердые тела. Моно- и поликристаллы
Электротехника
Постоянный электрический ток
Переменный ток
Трансформаторы
Волновые процессы
Электронная оптика
Голография
Квантовая механики
Периодическая система элементов Менделеева
Ядерная физика
Физика атомного ядра
Цепная реакция деления
Ядерная энергетика
Машиностроительное черчение
Начертательная геометрия
Оформление чертежей
  • Виды и комплектность документов
  • Стадии разработки
  • Основные надписи
  • Форматы
  • Масштабы
  • Линии чертежа
  • Шрифты чертежные
  • Штриховка
  • Изображения
    Сечения
    Обозначение сечений
    Выполнение сечений
    Разрезы
    Обозначение простых разрезов
    Выполнение простых разрезов
    Обозначение сложных разрезов
    Выполнение сложных разрезов
    Способы преобразования чертежа
    Выбор количества изображений
    Компоновка изображений
    Линии пересечения и перехода
    Построение линий пересечения
     Нанесение размеров
    Базы в машиностроении
    Система простановки размеров
    Методы простановки размеров
    Чертеж вала
    Конструктивные элементы
    Резьбовые проточки
    Литейные базы
    Нанесение размеров на чертежах литых деталей
    Аксонометрические проекции
    Плоские аксонометрические проекции
    Аксонометрические проекции 3-х мерных тел
    Резьбы, резьбовые изделия
    Назначение резьб
    Изображение резьбы
    Обозначение резьб
    Изображение резьбовых соединений
    Обозначение резьбовых изделий
    Разъемные соединения
    Соединение болтом
    Соединение шпилькой
    Соединение винтом
    Соединение труб
    Подвижные разъемные соединения
    Шпоночные соединения
    Соединения шлицевые
    Неразъемные соединения, зубчатые передачи
    Зубчатые и червячные передачи
    Условные изображения цилиндрических зубчатых колес
    Чертеж цилиндрической зубчатой передачи
    Шероховатость поверхности
    Параметры шероховатости
    Выбор параметров шероховатости
    Обозначение шероховатости поверхности
    Знаки шероховатости
    Правила обозначения шероховатости
    Эскиз
    Последовательность выполнения эскизов
    Общие требования к простановке размеров
    Примеры обмера деталей
    Простановка на эскизах шероховатости поверхностей
    Материалы в машиностроении
    Сборочный чертеж
    Требования к сборочному чертежу
    Последовательность выполнения
    Нанесение номеров позиций
    Спецификация сборочного чертежа
    Условности и упрощения на сборочных чертежах
    Деталирование чертежей
    Выполнение чертежей деталей
    Чтение чертежа "клапан напорный"
    Последовательность выполнения чертежа корпуса
     
    Лекции по Истории русского искусства
    Художественная культура и искусство
    Введение в историю культуры
    Христианская культура Руси
    Культура Владимире-Суздальской Руси
    Культура России в XVI в
    Русская культура XVII в
    Культура эпохи Петра Великого
    Культура России 1725–1800 гг
    Золотой век русской культуры
    Культура второй половины золотого века
    Культура восточных славян и древнерусское
    искусство X-XIII веков
    Деревянная архитектура древних славян
    и Древнерусского государства
    Искусство Древней Руси XIII – середины
    XV вв
    .
    Искусство Руси второй половины
    XV – начала XVI вв
    Искусство Руси XVII вв.
    Искусство Руси XVIII в.
    Искусство Руси второй половины XVIII в.
    Искусство второй половины XIX в.
    Архитектура русского модерна.
    Авангард. Архитектура конструктивизма
    ВХУТЕМАС
    Преподаватели ВХУТЕМАСа
     

    Методы расчета электрических цепей в курсовой по электротехнике

    Задачи начертательной геометрии

    • Ортогональное  (прямоугольное) проецирование и его свойства Для обозначения точек будем использовать прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры, для обозначения линий  - строчные буквы латинского алфавита, для обозначения поверхностей (плоскостей) - прописные буквы греческого алфавита. Возможны и другие обозначения, которые будут введены в дальнейшем.
    • Комплексный чертеж Изображение фигуры, полученное при проецировании фигуры на плоскость, дает информацию о фигуре. Однако, эта информация является неполной. По изображению на плоскости нельзя восстановить фигуру и ее положение в пространстве, т.е. чертеж, содержащий одну проекцию фигуры необратим.
    • Комплексный чертеж прямой Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямая, параллельная хотя бы одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.
    • Комплексный чертеж плоскости Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Плоскость, перпендикулярная хотя бы одной из плоскостей проекций называется плоскостью частного положения.
    • Взаимное положение точек и прямых, их принадлежность плоскости Взаимное положение точки и прямой. Деление отрезка прямой в данном отношении
    • Преобразование комплексного чертежа. В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.
    • Проецирование прямой общего положения в точку на новую плоскость проекций Придание фигурам частного положения относительно плоскостей проекций значительно облегчает решение многих задач. Для того, чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, необходимо, чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна прямой. Прямая на эту плоскость спроецируется в точку.
    • Первая и вторая позиционные задачи Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.
    • Прямая и плоскость занимают общее положение
    • Взаимное положение плоскостей Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.
    • Построение взаимно перпендикулярных фигур В качестве взаимно перпендикулярных будем рассматривать пары фигур: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, прямая и поверхность.
    • Перпендикулярность двух плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.
    • Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости) Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.
    • Определение расстояния между скрещивающимися прямыми
    • Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить расстояние между ними.
    • Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью принимается равным нулю. В случае перпендикулярности прямой и плоскости угол между ними по определению равен 90°.
    • Кривая линия – это множество последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве. Такое определение дает наглядное представление о кривой линии как о траектории точки.
    • Понятие поверхности. В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ образования поверхности называется кинематическим.
    • Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Тогда определитель такой поверхности имеет вид: Ф(t; k, l, m), где t – прямолинейная образующая; k, l, m – в общем случае криволинейные направляющие. Алгоритмическую часть определителя можно записать так: прямолинейная образующая в своем движении пересекает все три направляющие.
    • Поверхности вращения. Поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращательном движении образующей (прямой или кривой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. Геометрической частью определителя поверхности вращения является образующая и ось вращения.
    • Принадлежность точки и линии поверхности вращения При решении задач на принадлежность точки поверхности вращения в качестве графически простых линий наиболее часто используются окружности.
    • Циклическая поверхность – это множество последовательных положений окружности постоянного или переменного радиуса, перемещающейся в пространстве. Циклическая поверхность общего вида задается тремя направляющими m, n и k. Одна из них (n) задает положение центров окружностей, другая (m) – положение плоскостей окружностей, а третья (k) – радиусы окружностей
    • Пересечение поверхности и плоскости Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.
    • Пересечение поверхностей Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях.
    • Способ эксцентрических сфер
    • Пересечение поверхностей второго порядка В общем случае две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Следует отметить, что при некоторых особых положениях относительно друг друга поверхности второго порядка могут пересекаться по плоским кривым второго порядка, то есть пространственная кривая пересечения распадается на две плоские кривые
    • Развертки поверхностей Если поверхность, представляемую в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок, то поверхность, обладающая этим свойством, называется развертывающейся, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой.
    • Приближенные развертки развертывающихся поверхностей
    • Условные развертки неразвертывающихся поверхностей Рассмотрим несколько примеров, следуя указанной ранее схеме построения условной развертки поверхности.
    • Аксонометрические проекции В переводе с греческого языка слово "аксонометрия" означает измерение по осям. Особенностью аксонометрического проецирования является то, что вместе с фигурой на плоскость проецируется и пространственная система координат, связанная с этой фигурой. При этом ни одна из осей системы координат не проецируется в точку. Использование аксонометрического проецирования позволяет повысить наглядность изображения фигуры.
    • Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция Ортогональная изометрическая проекция (изометрия) является ортогональной аксонометрической проекцией при u = v = w.

    Курс лекций по строительной механике

    • Курс лекций по строительной механике написан в соответствии со стандартом для специальности «Автомобильные дороги и аэродромы». Авторами он многократно прочитан студентам факультета «Автомобильные дороги и мосты» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ), обучающимся по специальности «Автомобильные дороги и аэродромы». В предлагаемом курсе лекций излагаются основы классической строительной механики, без глубокого осмысления которых невозможно освоение современных методов расчёта сооружений, использующих многочисленные программные продукты.
    • Расчет распорных систем Распорной называется такая система, в результате действия на которую вертикальных внешних нагрузок в ней возникают наклонные опорные реакции.
    • Основная система метода сил Любой способ раскрытия статической неопределимости предполагает выбор для заданной системы основной системы. В методе сил основную систему выбирают из заданной, устраняя «лишние» связи. За «лишние» могут быть приняты как внешние, так и внутренние связи. Внешние связи являются опорными связями, а внутренними являются связи, препятствующие взаимному перемещению двух смежных сечений при мысленном рассечении стержня или удалении из него шарнира.
    • Основы динамики стержневых систем В предыдущих разделах был рассмотрен расчёт стержневых систем при действии на них статических нагрузок. Однако в практике создания и эксплуатации транспортных сооружений большинство нагрузок являются такими, которые во времени изменяют и свою величину, и направление действия.
    • Устойчивость стержневых систем Под устойчивостью понимают способность элементов конструкций сохранять первоначальное положение равновесия при действии на них сжимающих нагрузок. Устойчивость является необходимым условием для каждой инженерной конструкции. Когда первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, происходит потеря устойчивости конструкции. Потеря устойчивости может привести к разрушению как отдельного элемента, так и конструкции в целом.
    • Расчет статически неопределимой фермы

    Ядерная энергетика

    • Ядерная энергетика будет развиваться в основном в разомкнутом (открытом) топливном цикле, поскольку, учитывая значительные запасы уранового сырья России, нецелесообразно с экономической точки зрения расширять переработку отработанного топлива.
    • Урановый цикл Ядерный топливный цикл (izotop fuel cycle) - комплекс мероприятий для обеспечения функционирования ядерных реакторов, осуществляемых в системе предприятий, связанных между собой потоком ядерного материала и включающих урановые рудники, заводы по переработке урановой руды, конверсии урана, обогащению и изготовлению топлива, ядерные реакторы, хранилища отработавшего топлива, заводы по переработке отработавшего топлива и связанные с ними промежуточные хранилища и хранилища для захоронения радиоактивных отходов
    • Завершающая часть ядерного топливного цикла (izotop fuel cycle back-end) - деятельность, включающая транспортировку, хранение, переработку отработавшего ядерного топлива, обращение с радиоактивными отходами и их захоронение.
    • Кондиционирование радиоактивных отходов (Radioactive waste conditioning) - операции, при которых радиоактивные отходы переводятся в форму, пригодную для перевозки, хранения или захоронения
    • Уран-ториевый цикл Ториевый топливный цикл Интерес к торию, как топливу для ядерных реакторов объясняется возможностью образования делящегося изотопа 233U в результате захвата теплового нейтрона 232Th.
    • Урановый реактор слабо защищен от террористического акта. Ни одна атомная электростанция не выдержит удара крупного самолета. Если произойдет разрушение узла привода поглотительных стержней, систем управления защиты, ядерный реактор взорвется, как атомная бомба.
    • Оружейный уран и плутоний - стратегический и залоговый материал в ториевой энергетике.
    • Уран-плутонивый цикл
    • Реакторный плутоний Подавляющая часть сегодняшней атомной энергетики использует урановое горючие
    • Торий-плутонивый цикл В настоящее время в стадии разработки находится торий-плутониевый цикл (точнее 322Th-U- Pu цикл). Основа нового топлива - торий и оружейный плутоний, смесь которых поставляется в виде топливных сборок на обычные ядерные реакторы, где она и сжигается, попутно производя электроэнергию
    • Добыча урановой руды производится на рудниках и открытых карьерах обычными способами и методом подземного выщелачивания. 
    • Обогащение урана Гексафторид урана Для целей ядерной энергетики и ядерного военного комплекса требуется уран-235, который способен поддерживать цепную реакцию деления. Его концентрация в природном уране низка — в среднем 0,7 %.
    • Временное хранение ОЯТ Основная масса выгруженного из реактора ОЯТ размещается в хранилищах на площадках АЭС или централизованных хранилищах при промышленных (военных) реакторах.
    • Радионуклиды, определяющие активность и токсичность отработанного топлива
    • Транспортировка радиоактивных веществ (РВ) и ядерных делящихся материалов (ЯДМ) - важный компонент ядерного топливного цикла.
    • Радиохимическая переработка ядерного топлива
    • Очистка и выделение урана, плутония и нептуния
    • Радиохимические заводы России

    Художественная культура и искусство

    • Первобытное искусство и мифология Характеристика первобытной эпохи. Особенности искусства первобытного общества.
    • Культура и искусство Древнего Египта.
    • Художественная культура поздней Античности. Римская Античность В IV – III вв. до н.э. Рим подчиняет себе весь Апеннинский полуостров; в III – II вв. до н.э. ему покоряются Карфаген, Греция и все Восточное Средиземноморье. Создается мощное военно-административное государство с хорошо отлаженным строем жизни, иногда напоминающим казарменный быт; работают новые «механизмы» управления обществом. Государство учится жить по законам и прививает своим гражданам правовое сознание. Постепенно в общественном сознании укрепляется убеждение, что закон может и должен гарантировать права и свободы граждан.
    • Литература и искусство эпохи Возрождения (Ренессанса)
    • Специфика Английского Просвещения: Лояльность по отношению к церкви и государству, так как уже к началу XVII века в Англии существовала парламентская монархия, следовательно, демократическая борьба политических течений и партий, а церковь проводила гибкую религиозную политику (не выступала в оппозиции просвещения, а наоборот поддерживала лозунги). Английская церковь не противопоставляла себя Просвещению, а в какой-то мере даже отвечала его идеалу веротерпимости. Это имело далеко идущие последствия для культурного развития страны, поскольку позволило сохранить равновесие между традиционными ценностями, хранительницей которых выступала церковь, и новаторскими, которые несло Просвещение.
    • Архитектура периода Киевской Руси Под большим воздействием церкви находился и другой вид древнерусского искусства – архитектура. С приходом на Русь христианства начинается широкое строительство культовых зданий, церквей и монастырей. Одним из первых центральных монастырей был Киево-Печерский, основанный в середине XI в. Антонием и Феодосием Печерскими. Печеры, или пещеры, – это места, где первоначально селились христианские подвижники и вокруг которых потом возникало поселение, превращавшееся в общежительный монастырь.
    • Английский романтизм Образы и идеи У. Блейка. Поэзия лейкистов (Озерная школа): основные темы и жанры.
    • Развитие американского романа. Драйзер и Фолкнер. Литература битников. Историю США до начала Второй мировой войны определяли следующие события: победа в испано-американской войне (1899) и участие в Первой мировой, промышленный бунт: индустриализация (появление трамвая, заводы Форда, панамский канал) окончательное заселение территорий (Аляска и Калифорния), рост городов, «великая депрессия» 1929 кризис перепроизводства), Новый экономический курс Рузвельта, в результате чего США становится ведущей мировой державой к началу Второй мировой войны.
    • Литература Франции рубежа веков и I половины 20 в. Общественно-политическая ситуация во Франции и литературный процесс. Литература нового времени ведет свой отсчет с Парижской коммуны (март-май 1871), которой предшествовало поражение Фракции во франко-прусской койне. После разгрома Коммуны в 1871 — 1875 образовалась и утвердилась Республика буржуа. В 1890-е гг. Франция вступила в эпоху империализма, когда наблюдается объединение капитала, сращение капитала и власти, бурное развитие науки и техники (появление кинематографа в 1895).

    Математика для студентов экономических специальностей

    • Математический анализ представляет собой основу всей высшей математики. Его содержание составляют дифференциальное и интегральное исчисления одной и нескольких переменных. Множества. Основные обозначения. Операции над множествами Понятие множества является одним из основных в математике. Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать синонимами слова "множество". Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество студентов определенного учебного заведения; совокупность студентов, учащихся на "хорошо" и "отлично" в некоторой школе, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или бесконечное число объектов.
    • Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примерами последовательностей могут служить: последовательность всех членов бесконечной геометрической прогрессии, последовательность приближенных значений  (x1 = 1, х2 = 1,4, х3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последовательности.
    • Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.
    • Функции одной переменной
    • Приведем примеры использования функций в области экономики
    • Теоремы о пределах функций Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
    • Линии второго порядка Рассмотрим здесь три наиболее используемыx вида линий: эллипс, гиперболу и параболу.
    • Основы дифференциального исчисления Понятие производной Определение производной
    • Понятие дифференциала функции Определение и геометрический смысл дифференциала
    • Понятие производной n-го порядка
    • Применение производных в исследовании функций Раскрытие неопределенностей Правило Лопиталя
    • Исследование функций и построение графиков Признак монотонности функции Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, доказательство которой мы опускаем.
    • Схема исследования графика функции Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика. 1. Найти область определения функции. 2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:
    • Применение в экономике Предельные показатели в микроэкономике Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.
    • Максимизация прибыли Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т.п.
    • Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Множество вопросов математического анализа и приложений в разнообразных науках приводит к другой задаче: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).
    • Интегрирование по частям Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке.
    • Основные правила интегрирования Замена переменной в определенном интеграле Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.
    • Некоторые приложения в экономике Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. Для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмотрим соответствующие примеры.
    • Несобственные интегралы При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена.
    • Функции нескольких переменных Евклидово пространство Em Евклидова плоскость и евклидово пространство Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: М(x, у).
    • Частные производные функции нескольких переменных Частные производные первого порядка Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е2. Частная производная функции z = f(x, у) по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у
    • Локальный экстремум функции нескольких переменных Определение и необходимые условия существования локального экстремума Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М0 (x0, у0) — некоторая точка этого множества.
    • Оптимальное распределение ресурсов
    • Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения. В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.
    • Уравнения с разделяющимися переменными
    • Линейные уравнения первого порядка
    • Дифференциальные уравнения второго порядка Основные понятия теории
    • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
    • Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка
    • Аппарат дифференциальных уравнений в экономике В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t.
    • Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами.
    • Элементы линейной алгебры ВЕКТОРЫ Векторное пространство Понятие и основные свойства вектора Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.
    • Матрицы и операции над ними
    • Обратная матрица Ранг матрицы Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векторов (или из п m-мерных векторов).
    • Системы линейных алгебраических уравнений Этот раздел является одним из основных в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.
    • Метод Гаусса Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количеству вычислительной работы.
    • Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений Как известно, уравнения с двумя переменными вида описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна); в) прямые совпадают, т.е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.
    • Характеристическое уравнение
    • Применение элементов линейной алгебры в экономике Использование алгебры матриц Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.
    • Модель Леонтьева многоотраслевой экономики Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является призводителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.
    • Линейная модель торговли Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.
    • Элементы теории вероятностей События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным относительно комплекса условий S называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметически изолированного сосуда вода не может вылиться.
    • Теорема сложения вероятностей
    • Обобщения теорем сложения и умножения
    • Схема независимых испытаний Формула Бернулли Определение. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие
    • Случайные величины и законы их распределения Виды случайных величин Определение. Величину называют случайной, если в результате испытания она примет лишь одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин.
    • Числовые характеристики дискретных случайных величин Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на базе закона ее распределения.
    • Приведем здесь основные свойства дисперсии.
    • Система двух случайных величин Двумерная случайная величина До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом.
    • Непрерывные случайные величины Функция распределения и ее свойства Пусть Х — непрерывная случайная величина, значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить перечень всех возможных значений X, как это было сделано в случае дискретной случайной величины.
    • Основные распределения непрерывных случайных величин Равномерное распределение Определение. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.
    • Некоторые элементы математической статистики Задачи математической статистики Первой задачей математической статистики является указание методов сбора и группировки статистических сведений, которые получены в результате экспериментов или наблюдений.
    • Полигон и гистограмма Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно рассматривать и пары значений (хi, Wi) относительного распределения выборки.
    • Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют характеристики, аналогичные для теоретического распределения
    • Основы оптимального управления Управление и планирование являются наиболее сложными функциями в работе предприятий, фирм, служб администраций всех уровней. Долгое время они являлись монополией человека с соответствующей подготовкой и опытом работы.
    • Элементы линейного программирования Общая постановка задачи Определение. Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.
    • Элементы аналитической геометрии в n-мерном пространстве
    • Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными
    • Графический метод Постановка задачи Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования является графический метод.
    • Экономический анализ задач с использованием графического метода Проведем экономический анализ рассмотренной выше задачи по производству мороженого.
    • Симплексный метод Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде.
    • Двойственность в линейном программировании Произвольную задачу линейного программирования можно определенным образом сопоставить с другой задачей линейного программирования, называемой двойственной. Первоначальная задача является исходной. Эти две задачи тесно связаны между собой и образуют единую двойственную пару.
    • Решение двойственных задач
    • Экономический анализ задач с использованием теории двойственности Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель
    • Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования.
    • Альтернативный оптимум в транспортных задачах Признаком наличия альтернативного оптимума в транспортной задаче является равенство нулю хотя бы одной из оценок свободных переменных в оптимальном решении (Xопт1).Сделав перераспределение грузов относительно клетки, имеющей Δij = 0, получим новое оптимальное решение (Хопт2), при этом значение целевой функции (транспортных расходов) не изменится.
    • Вырожденность в транспортных задачах
    • Экономический анализ транспортных задач Проведем экономический анализ задачи на конкретном примере.
    • Выбор оптимального варианта использования производственного оборудования
    • Целочисленное программирование Общая формулировка задачи Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск станков, телевизоров, автомобилей и т.д.).
    • Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
    • Параметрическое линейное программирование
    • Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
    • Транспортная параметрическая задача
    • Задача о назначениях Задача заключается в выборе такого распределения ресурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс назначается ровно один раз и каждому объекту приписывается ровно один ресурс.
    • Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
    • Задачи с несколькими целевыми функциями Формулировка задачи В рассматриваемых выше задачах линейного программирования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное значение экономического показателя. Однако на практике часто требуется найти экстремальные значения нескольких экономических показателей. В этом случае математическая модель имеет несколько целевых функций, причем некоторые из них требуют нахождения максимального, а другие — минимального значений. Поэтому ставится задача нахождения такого компромиссного (субоптимального) решения модели, в котором значения всех рассматриваемых экономических показателей были бы приближены к экстремальным значениям.
    • Элементы оптимального управления Нелинейное программирование
    • Дробно-линейное программирование Математическая модель задачи Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.
    • Метод множителей Лагранжа
    • Динамическое программирование — один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги). Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития
    • Сетевые модели До появления сетевых методов планирование работ, проектов осуществлялось в небольшом объеме. Наиболее известным средством такого планирования был ленточный график Ганта, недостаток которого состоит в том, что он не позволяет установить зависимости между различными операциями.
    • Минимизация сети
    • Принятие решений и элементы планирования Основные понятия теории игр В экономике иногда приходится сталкиваться с ситуацией, когда при наличии многих участников эффективность решения одного из них зависит от того, какие решения приняли другие участники.
    • Решение игр (aij)mxn с помощью линейного программирования Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, задача линейного программирования может быть представлена как игра.
    • Игры с "природой" В рассмотренных выше матричных играх предполагалось, что в них принимают участие два игрока, интересы которых противоположны. Поэтому действия каждого игрока направлены на увеличение выигрыша (уменьшение проигрыша).
    • "Дерево" решений Примеры, которые мы рассматривали до сих пор, включали получение единого решения. Однако на практике результат одного решения приводит к необходимости принятия следующего решения и т.д.
    • Элементы системы массового обслуживания Формулировка задачи и характеристики СМО Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то обстоятельство, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания.
    • СМО с неограниченным ожиданием
    • Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
    • Некоторые модели управления запасами Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия.
    • Модель производственных запасов В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непосредственно с производственной линии.

    Практикум